حساب المثلثات ترم اول 1ث

 ثانيا حساب المثلثات :ـ ( الفصل الثالث قياس الزاوية ) 00   
تعريف الزاوية الموجهة : هي إتحاد زوج مرتب من شعاعين لهما نقطة بداية واحدة
حيث يسمى الشعاعين ضلعي الزاوية ، نقطة البداية رأس الزاوية0
مثل < أ و ب ضلعاها ( و أ ، و ب ) ، و أ ضلع إبتدائي ، و ب ضلع نهائي
* القياس الموجب للزاوية الموجهة :
إذا كان الإتجاه من الضلع الإبتدائي إلي الضلع النهائي عكس عقارب الساعة0
* القياس السالب للزاوية الموجهة :
إذا كان الإتجاه من الضلع الإبتدائي إلي الضلع النهائي مع عقارب الساعة 0
* الوضع القياسي للزاوية الموجهة : إذا كان ضلعها الإبتدائي هو محور السينات و رأسها نقطة الأصل
ملاحظات هامة :ـ [1] الزاوية الموجهة أ و ب  الزاوية الموجهة ب و أ
[2] لكل زاوية موجهة في وضعها القياسي قياسان أحدهما موجب و الأخر سالب بحيث يكون مجموعهما العددي 360 ْ
مثال: ( 120 ، - 240 ْ ) / ( 150 ، - 210 ْ ) // ( - 300 ، 60 ْ ) 000000000
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
طرق قياس الزاوية :ـ ( القياس الستيني و القياس الدائري ) 000
أولاً القياس الستيني:ـ وحدة قياسه هي الدرجات والدقائق والثواني بحيث 1ْ = 60 / ، 1/ = 60//
 ملاحظات هامة جداً00
(1) ينقسم المستوي إلي أربعة أرباع كما هو موضح
(2) الزوايا المتكافئة : هي الزوايا التي لها ضلع
نهائي واحد 0
و تكون الزاويا التي تكافئ
< هـ = هـ + ن × 360ْ
أي نجمع أو نطرح 360 للحصول علي زوايا متكافئة
(3) لمعرفة الربع الذي تقع فيه الزاوية لابد و أن تكون موجبة و محصورة في [ 0 ، 360 ْ ]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال: حدد الربع الذي تقع فيه الزوايا الأتية ثم أوجد زاوية مكافئة لكل منها ؟
(1) 440 ْ (2) - 140 ْ (3) 840 ْ (4) - 400 ْ (5) ط / 5
الحل:ـ (1) 440 ْ = 440ْ - ( 360 ) = 80 ْ تقع في الربع الأول ،، 440 تكافئ 80 ْ
(2) -140 ْ = -140 ْ + 360 = 220 ْ : تقع في الربع الثالث ، و تكافئ 220 ْ
(3) 840 ْ = 840 - ( 2× 360 ) = 120 ْ : تقع في الربع الثاني و تكافي 120 ْ
(4) -440 ْ = -400 ْ + ( 2×360 ) = 320 ْ : تقع في الربع الرابع و تكافئ 320 ْ
(5) ط / 5 = 180 / 5 = 36 ْ تقع في الربع الأول و تكافئ 36 + 360 = 396 ْ 00000



 ثانياً القياس الدائري :ـ القياس الدائري لزواية مركزية تحصر قوس طوله ل في دائرة
طول نصف قطرها نق هو هـء =  ل = هـء × نق ،، نق = [    ]

تعريف الزاوية النصف قطرية :ـ هي زاوية مركزية تحصر قوس طول = طول نصف قطر الدائرة 0
مثال1: زاوية مركزية في دائرة طول نصف قطرها15 ســـــــم تحصر قوس طوله 25 ســــــــم
ـ أوجد قياسها بالتقدير الدائري ؟
الحل:ـ ჻ ل= 25 ، نق = 15 سم  هـ ء = = 25 / 15 = 66و1 ء
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(2) زاوية مركزية قياسها 2و1ء تحصر قوس طوله 12 سم أوجد طول نصف قطر هذه الدائرة ؟
الحل:ـ ჻ هـء = 2و1ء ، ل= 12 سم  نق = ل / هـء = 12 / 2و1 = 10 سم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) زاوية مركزية قياسها 2و2 ء في دائرة طول نصف قطرها 15سم أوجد طول القوس الذي تحصره؟
الحل:ـ ჻ هـء = 2و2 ، نق = 15 سم  ل = هـء × نق = 2و2 × 15 = 33سم 00
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4) زاوية مركزية تحصر قوس طوله 20 سم في دائرة محيطها 44 سم أوجد قياسها الدائري ؟
الحل:ـ ჻ ل = 20 سم ، محيط الدائرة = 2 ط نق  44 = 2 × ( 22/ 7) × نق  نق = 7 سم
 هـء = = 20 / 7 = 86و2ء #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
العلاقة بين التقديرين الدائري و الستيني:ـ =
 هـء = ،،، سْ = ***
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال5: أوجد القياس الدائري للزاويا الأتية [ 225ْ ،، - 240 ْ ،، 420 ْ ،، 4 ط / 5 ]
الحل:ـ ჻ سْ = 225 ْ  هـء = = = 9و3 ء لاحظ أن ط = 22 / 7

** ჻ سْ = -240ْ = -240 ْ + 360 = 120 ْ  هـء = × ط = 1و2ء

** سْ = 420 - 360 = 60 ْ  هـء = × ط = 047و1 ء

** سْ = 4 ط / 5 = 4×180 ÷5 = 144ْ  هـء = × ط = 5و2 ء #
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(6) أوجد القياس الستيني لكل من 1و1 ء ،، 5 طء / 16
الحل:ـ ჻ هـء = 1و1  سْ = × 180 = 63 ْ

** ، ჻ هـء = 5 ط ء/ 16  سْ = × 180 = 25و56 ْ


(7) زاوية مركزية تحصر قوس طوله 28سم في دائرة طول قطرها 24 سم 0   
ـ أوجد قياسها الدائري و الستيني ؟
الحل:ـ ჻ ل = 28 سم ، نق = 24/2 = 12 سم  هـ ء = = 28/ 12 =3و2 ء

، سْ = × 180 = × 180 = 75و133 = 45/ 133ْ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(أوجد طول القوس المقابل لزاوية مركزية قياسها 140ْ في دائرة طول نصف قطرها 10 سم
الحل:ـ ჻ سْ = 140 ْ  هـء = = = 44و2 ء
 ل = هـء × نق = 44و2 × 10 = 4و24 سم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(9)  أ ب جـ فيه ق(< ب ) = 2و1ء ، ق(< جـ ) = 50 ْ
أوجد ق (< أ ) بالتقديرين الدائري و الستيني ؟
الحل:ـ ق(< ب ) = = = 7و68 ْ

 ق(< أ ْ ) = 180 ْ- ( 50 + 7و68) = 3و61 ْ  الستيني

، أ ء = = = 07و1 ء
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(10) دائرة م ، أ ، ب نقطتان عليها بحيث ق(< أ م ب ) = 98 ْ ،، م أ = 5 سم إحسب طول أ ب ؟
الحل:ـ ჻ ق(< أ م ب ) = 98 ْ  سْ = 98 ْ ، ჻ م أ = 8 سم  نق = 8 سم
 هـء = = = 7و1 ْ

 ل = هـء × نق = 7و1 × 5 = 5و8 سم  طول أ ب = 5و8 ســــــــــــم #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(11)  أ ب جـ النسبة بين قياسات زواياه 3 : 4 : 5 أوجد القياس الستيني و الدائري لـ < جـ
الحل:ـ ჻ < أ : < ب : < جـ = 3 : 4 : 5
 نفرض أن ق(< أ ) = 3ك ، ق(< ب) = 4ك ، ق(< جـ ) = 5 ك
، ჻ أ + ب + جـ = 180 ْ  3ك + 4 ك + 5 ك = 180  12 ك = 180  ك = 15 ْ
჻ ق( < جـ ) = 5 ك = 5 × 15 = 75 ْ : القياس الستيني
჻ جـء = = = 3و1 ء #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(12) أوجد بدلالة ط طول القوس الذي تحصره زاوية مركزية قياسها 100 ْ في دائرة طول نصف قطرها 7 سم
الحل:ـ ჻ سْ = 100 ْ  هـء = = = ط

 ل = هـء × نق = ط × 7 = ط #
 تمرين قياس الزاويـــــــة :ـ   
(1) حدد الربع الذي تقع فيه الزوايا الأتية 57 ْ ، 220 ْ ، - 500 ْ ، 510 ْ ، - 60 ْ ، - 300ْ
(2) أوجد زاوييتين تكافئ كل زاوية مما يأتي: 65 ْ ، 100 ْ ، 140 ْ ، - 150 ْ ، - 180 ْ
(3) أكمل ما يأتي
(أ) الزاوية التي قياسها 120 ْ يكون قياسها السالب هو 00000000 و تقع في الربع 00000000
(ب) الزاوية التي قياسها - 300 قياسها الموجب = 0000000 و تقع في الربع 00000000
(جـ) الزاوية التي قياسها 45 ْ تكافئ زاوية موجبة قياسها 00000 و تكافئ زاوية سالبة قياسها000
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(5) أوجد التقدير الدائري للزاوية المركزية التي تحصر قوس طوله 20 سم في دائرة طول نصف قطرها
12 سم 00
(6) زاوية مركزية في دائرة طول قطرها 30 سم تقابل قوس طوله 45 سم أوجد قياسها الدائري ؟
(7) أوجد طول القوس المقابل لزاوية مركزية قياسها 2و2ء في دائرة طول نصف قطرها 20 سم
( زاوية مركزية قياسها 2 ء و تقابل قوس طوله 15 سم أوجد طول نصف قطر دائرتها 0

(9) أوجد القياس الدائري للزوايا الأتية :
(أ) 60 ْ ، (ب) 200 ْ ، (جـ) - 160ْ , ( د) 600 ْ ، ( هـ )

(10) أوجد التقدير الستيني للزوايا الأتية 00
(أ) 3و1 ء (ب) 4ء ( جـ ) 72و طء ( د ) 2و2ء ( هـ )

(11) دائرة طول نصف قطرها 10 سم 0 أوجد القياس الدائري و الستيني للزاوية المركزية التي تقابل قوس طوله 15 ســـــــــم ؟

(12) زاوية مركزية قياسها 120 ْ في دائرة طول نصف قطرها 15 ســـــم أوجد طول القوس المقابل
لهذه الزاوية ؟

(13) زاوية مركزية قياسها = 4و1 ء ، تحصر قوس طوله 25 سم
ـ أوجد طول نصف قطر دائرتها و أوجد قياسها بالتقدير الستيني ؟

(14)  أ ب جـ فيه ق(< أ ) = 70 ْ ،، ق(< ب ) = 3و1ء
ـ أوجد ق(< جـ ) بالتقدير الستيني و الدائري 0

(15) أكمل ما يأتي
(أ) الزاوية النصف قطرية هي 000000000

(ب) =



  

تعريف : إذا كان الضلع النهائي لزاوية موجهة في الوضع القياسي
يقطع دائرة الوحدة في النقطة ( س ، ص ) فإن
(1) جا هـ = ص ، ( 2) جتا هـ = س ، (3) ظا هـ = =

و تسمي هذه الدوال الثلاثة بالدوال المثلثية الأساسية 00
مقلوبات الدوال المثلثية :ـ
(1) قتا هـ = = (2) قا هـ = = (3) ظتا هـ = =
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال1: إذا كان الضلع النهائي لزاوية ( هـ ) في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة
( 6و ، 8و) ـ أوجد الدوال المثلثية لهذه الزاوية ؟
الحل:ـ جا هـ = ص = 8و ،، جتا هـ = س = 8و ، ظا هـ = ص / س = 6و / 8و = 3 / 4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 ملاحظات هامة :ـ [1]
[ إشارات الدوال المثلثية ] كما هو مبين في الشكل
و يجب قبل تحديد إشارة الدالة المثلثية تحديد الربع
مثال2 : حدد إشارات الدوال الأتية
جا 60 ، جتا 240 ، ظا 210 ، قا 300
جتا 150 ، ظا - 30
الحل:ـ
჻ 60 تقع في الربع الأول  جا 60 ( + )
჻ 240 تقع في الربع الثالث  جتا 240 ( - )
჻ 210 تقع في الربع الثالث  ظا 210 ( + ) ،، 300 في الربع الرابع  قا 300 (+)
჻ 150 تقع في الربع الثاني  جتا 150 ( - ) ،،، -30 = 330 في الرابع  ظا -30 (- )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
[2] إذا كان الضلع النهائي للزاوية الموجهة في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة
(س، ص) فإن س2 + ص2 = 1 ** [ من نظرية فيثاغورس ]
مثال3: إذا كان الضلع النهائي لزاوية هـ في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة ( س، )
فأوجد قيمة س حيث س  ح + ثم أوجد جا هـ ، ظا هـ ، قا هـ
الحل:ـ  س2 + ص2 = 1  س2 + ( )2 = 1  س2 + = 1
 س2 = 1- =  س =  النقطة هي ( ، )

 جا هـ = ،، ظا هـ = ÷ = 3/4 ،، قا هـ = 5/4 #
(4) إذا كان الضلع النهائي لزاوية< أ و ب في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة (6و، ص)
فأوجد قيمة ص حيث ص  ح - ـ ثم أوجد ظا أ و ب ،، قتا أ و ب
الحل:ـ  س2 + ص2 = 1  (6و)2 + ص2 =1  36و + ص2 = 1  ص2 = 1- 36و
ص2 = 64و  ص = 8و ( مرفوض) أ، ص = -8و  النقطة هي ( 6و ، - 8و )
 ظا أ و ب = - 8و ÷ 6و = - 4 / 3 ،، قتا أ و ب = 1 / -8و = - 5/ 4 #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(5) إذا كان الضلع النهائي لزاوية هـ في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة ( 2س ، س)
فأوجد قيمة س الموجبة ـ ثم أوجد جا هـ ، قا هـ
الحل:ـ ჻ س2 + ص2 = 1  ( 2س)2 + س2 = 1  4س2 + س2 = 1  5س2 = 1
 س2 =  س =  النقطة هي ( ، )

 جا هـ = ،، قا هـ = #

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 تمرين:ـ
(1) حدد إشارات الدوال المثلثية الأتية00

جا 110 ْ ، جتا 210 ْ ، ظا 315 ْ ، قا 45 ْ ، ظا - 300 ، قتا 500 ْ ، ظتا 420ْ

(2) إذا كانت سء = 4و2 ء فاوجد ق(< س) بالتقدير الستيني ثم حدد إشارة جا س، جتا س، ظا2س

(3) إذا كان الضلع النهائي لزاوية هـ في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة ( 8و ، ص )
فأوجد قيمة ص حيث ص  ح + ثم أوجد الدوال المثلثية لزاوية هـ

(4) إذا كان الضلع النهائي لزاوية هـ في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة ( - س ، )
فأوجد قيمة س الموجبة ثم أوجد ظا هـ ، جا هـ ، قتا هـ

(5) إذا كان الضلع النهائي لزاوية هـ في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة (س ، 3س)
فأوجد قيمة س الموجبة ثم أوجد جتا هـ ، جا هـ ، ظتا هـ 00

(6) إذا كان الضلع النهائي لزاوية هـ في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة ( س ، )
فأوجد قيمة س السالبة ـ ثم أوجد الدوال المثلثية لزاوية هـ

(7) إذا كانت جتا هـ = حيث < هـ حادة فأوجد الدوال المثلثية لـ < هـ ؟

( إذا كان الضلع النهائي لزاوية هـ في وضعها القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة ( س ، س )
فأوجد قيمة س حيث س > صفر ـ ثم أوجد الدوال المثلثية لزاوية هـ


 الدوال المثلثية للزاويا الخاصة :ـ   
 الـــــدوال المثلثيـــة لبعض الزوايـــــا الخاصـــة
الدالة / الزاوية 30
45
60 90 180 270 360, صفر
جا

1 صفر - 1 صفر
جتا



صفر - 1 صفر 1
ظا
1
غير معرف صفر غير معرف صفر
مثال: بدون إستخدام الألة أوجد قيمة كلاً مما ياتي 00
(1) جا 30 جتا 60 + جا 90 - جتا2 45 (2) جتا 30 ظا 60 + جا2 45 - جتا180
الحل:ـ
(1) المقدار = × + - ( )2 = + 1 - = لاحظ أن جتا2 هـ = ( جتا هـ )2

(2) المقدار = × 3 + ( )2 - (-1) = + + 1 = 3 #
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) جتا90 + 2جتا 180 + 3 جتا 270 + 4 جتا 60
الحل:ـ المقدار = 0 + 2 ( - 1) + 3× 0 + 4 × = 0 - 2 + 0 + 2 = صفر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4) ظا2 60 - قا2 60 + جا 90 + جا 45 جتا 45
الحل:ـ المقدار = ( 3 )2 - (2)2 + 1 + × = 3 - 4 + 1 + =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(5) إثبت أن جا 30 جتا 60 + جتا 30 جا 60 = جا 90
الحل:ـ الطرف الأيمن = × + × = + = 1 ،، جا 90 =1 متساويان
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمرين :ـ (I) بدون الألة أوجد قيمة كلاً مما يأتي
(1) 3 جا 30 ظا 45 - 2قا2 45 - ظا2 60 (2) 2جا 30 + جا2 60 - ظا45 × جتا 180
(3) قا60 - 4 جا2 45 + جا 270 (4)
(II ) إثبت أن ***
(5) جتا30 جتا60 - جا 30 جا 60 = جتا90 (6) 2جا 30 جتا 30 = جا 60 جتا2 180

(7) ظا 60 = ( جا 90 = 2 جا 45 جتا 45 + 3 جتا270

(9) قتا 60 ظتا 30 ظا 60 = 2 قا2 45 جتا 45 (10) جتا 60 = 2جتا2 30 + جتا 180
بعض خواص الدوال المثلثية :ـ [1] الدوال المثلثية للزاويتين المتتامتين هـ ، 90- هـ ]
(1) جا هـ = جتا (90 - هـ) (2) جتا هـ = جا(90- هـ ) (3) ظا هـ = ظتا(90- هـ )
بالمثل : قتاهـ = قا(90- هـ ) ،، قا هـ = قتا ( 90- هـ)
ملاحظة : إذا كان جا س = جتا ص فإن س+ ص = 90 ْ و بالمثل باقي الدوال 0000
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال1:ـ جا 32 = جتا 58 ْ ، ظتا 20 = ظا 70 ،، قا 65 = قتا 25 ، 00000
(2) إذا كانت جتا ( س+ 25) = جا (2س- 10 ) فأوجد قيمة س حيث س  ] 0 ، ط/2[
الحل:ـ  جتا( س+25) = جا (2س- 10)  س+ 25 + 2س- 10 = 90 ْ
 3س+ 15 = 90  3س = 75  س = 25 ْ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) إذا كانت ظا ( 3س+ 20 ) = ظا ( س- 10) فأوجد قيمة س بالتقدير الدائري ؟
الحل:ـ ჻ ظا ( 3س+ 20 ) = ظا ( س- 10)  3س+ 20 + س- 10 = 90
 4س+10 = 90  4س =80  س = 20 ْ
 سء = = = 35وء
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4) إذا كانت قا2هـ = قتا ( 3هـ -60 ) فأوجد قيمة هـ ثم أوجد قيمة المقدارجا هـ + 2جتا2هـ + جا3هـ
الحل:ـ ჻ قا2هـ = قتا ( 3هـ -60 )  2هـ + 3هـ -60 = 90  5هـ = 150  هـ = 30 ْ
჻ المقدار = جا30 + 2جتا 60 + جا90 = + 2× + 1 = 2 @
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(5) إذا كانت ظا (2س+ 9) = ظتا ( س+ 36 ) فأوجد قيمة س ثم إثبت أن جا2 2س+ جتا2 2س=1
الحل:ـ ჻ ظا (2س+ 9) = ظتا ( س+ 36 )  2س+ 9+ س+36 = 90  3س+ 45=90
 3س= 45  س = 15 ْ #
 المقدار = جا2 2×15 + جتا2 2×15 = جا2 30 + جتا2 30 = ( )2 + ( )2 = + =1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمرين:ـ (1) أكمل ما يأتي
(أ) ظتا 54 = ظا 00000 (ب) قا 75 = قتا0000 (جـ) جتا 50 = جا 0000 (د) = 0000

(2) أوجد قيمة س إذا كان جا س = جتا 2س ثم أوجد قيمة المقدار جا س جتا 2س جا 3س
(3) أوجد قيمة هـ إذا كان ظا ( 2س+ 25 ) = ظتا ( 3س - 5)
(4) أوجد قيمة ص بالتقدير الدائري إذا كانت قتا (3ص) = قا( 50- ص)
(5) إذا كانت جتا ( س+ 50) = جا ( 2س- 50 )
ـ فأوجد قيمة س ـ ثم أوجد قيمة المقدار = جتا2 س + جا 3س + جتا 270 ظا 45
(6) إذا كانت جتا (س+ 20 ) = جا ( س=10)
ـ فأوجد قيمة س ـ ثم أوجد قيمة المقدار

(7)  أ ب جـ فيه أ ب = ب جـ ، جا أ = جتا جـ أوجد قياسات زواياه ؟

تابع الخواص : [2] الدوال المثلثية للزاويتين المتكاملتين [ هـ ، 0 18- هـ ] 00
(1) جا (180- هـ = جا ( هـ ) (2) جتا (180- هـ ) = - جتا هـ (3) ظا (180- هـ ) = - ظا هـ
[3] الدوال المثلثية للزاويتين هـ ، 180+ هـ 000
(1) جا (180+ هـ ) = - جا هـ (2) جتا (180+ هـ ) = - جتا هـ (3) ظا ( 180+ هـ ) = ظا هـ
[4] الدوال المثلثية للزاويتين هـ ، 360 - هـ 000
(1) جا (360- هـ )= - جا هـ ، (2) جتا ( 360- هـ ) = جتا هـ (3) ظا (360 - هـ ) = - طا هـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ملاحظات (1) لأيجاد دالة أي زاوية و معرفة قيمتها لابد من تحديد الربع أولاً ثم إختيار زاوية مناسبة
من الزوايا 30 ْ ،، 45 ،، 60 ْ
(2) زاويا الربع الثاني هي 150 = 180- 30 // 135 = 180- 45 // 120 = 180- 60
(3) زوايا الربع الثالث هي 210 = 180+ 30 // 225 = 180+ 45 // 240 = 180+ 60
(4) زوايا الربع الرابع هي 330 = 360- 30 // 315 = 360 - 45 // 300 = 360 - 60
(5) جا (- هـ ) = - جا هـ // جتا (- هـ ) = جتا هـ // ظا ( - هـ ) = - ظا هـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال: أوجد قيمة كلاً مما يأتي 00
(1) جتا120 ظا 315 + جا 240 ظا 300
الحل:ـ ჻ جتا 120 = جتا (180- 60 ) = - جتا 60 = -
،، ظا315 = ظا(360- 45) = - ظا 45 = -1
، جا 240 = جا (180+ 60 ) = - جا 60 = -

،، ظا300 = ظا(360- 60 ) = - ظا 60 = -

 المقدار = - × -1 - × = - = -1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(2) إذا كانت جتا 330 ظتا 240 + 2جتا (- 135) قتا 45 جا90 = س فأوجد قيمة س ؟
الحل:ـ جتا 330 = جتا( 360 - 30 ) = جتا 30 =
، ظتا 240 = ظتا(180 + 60 ) = ظتا 60 =

،، جتا(- 135 ) = جتا 135 = جتا( 180- 45) = - جتا 45 = -

 المقدار = × + 2× - × × 1 = - = صفر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) أوجد قيمة جتا480 جا - 30 ظا2 225 00
الحل:ـ جتا480 = جتا (360 + 120 ) = جتا 120 = جتا(180- 6) = - جتا 60 = -
جا -30 = - جا 30 = ،، طا225 = ظا (180+ 45 ) = ظا 45 = 1

 المقدار = - × - × (1)2 = 1 / 4
(4) إذا كانت جا هـ = جتا 2هـ فأوجد قيمة هـ ثم أوجد قيمة المقدار
الحل:ـ ჻ جا هـ = جتا 2هـ
 هـ + 2هـ = 90  3هـ = 90  هـ = 30 ْ
 قا (180- هـ) = - قا هـ = - قا 30 = - ، قا2 هـ =

، جا (180+ هـ)=- جا هـ = - جا 30 = -

،، جا (180- 2هـ) = جا 2هـ = جا 60 =  جا2 (180- 2هـ) =

 المقدار = = - 8 / 9

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(5) إذا كانت ظا ( س + 20) = ظتا ( س-20 )
ـ فأوجد قيمة س ثم ـ أوجد قيمة المقدار +
الحل:ـ
჻ ظا ( س + 20) = ظتا ( س-20 )  س+ 20 + س- 20 = 90  2س=90  س= 45 ْ
، ჻ جا70 = جتا 20  جا70 ÷ جتا20 = 1 لأن مجموعهما 90
، قا( 180- س) = - قا س = - قا 45 = -  قا2 45 = 2 ،، ظا 135 = -1

 المقدار = 1 + ( ) = 1 - 2 = -1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 تمريـــــــن :ـ (1) أكمل ما يأتي
(أ) جا135 = 00000 (ب) ظا 120 = 0000000 (جـ) قا 300 = 00000000
( د) إذا كانت جا س = جا ص فإن 0000000 أ، 000000000
(2) أوجد قيمة المقدار جا 420 جا 120 - جتا 120 جا (- 390 )
(3) أوجد قيمة المقدار جتا 120 ظا 315 + جا 240 ظتا 120 - ظا 135 جا 90
(4) أوجد قيمة المقدار جتا2 180 + جا 330 + جتا 120 - ظا - 315

(5) إذا كانت جا 15 = جتا ( هـ + 15 )فأوجد قيمة هـ ثم أوجد قيمة المقدار

(6) إذا كان ظا س = ظتا 2س ـ فأوجد قيمة س ـ ثم أوجد قيمة المقدار
جتا2 (90- س) + جتا 2س - جا 3س

(7) إثبت أن جا 150 جتا 120 + جا 600 جتا 330 = جتا 180

( أوجد قيمة المقدار = جا 315 جتا (- 675) + قا2 300 ْ



 حل المعادلات المثلثية :ـ
أوجد مجموعة حل المعادلات الأتية : س  ] 0 ، 2 ط [
(1) ظا س = 1 (2) 2 جا س - 1 = صفر (3) جا س جتا س = صفر
الحل:ـ
(1) ჻ ظا س = 1 ، ჻ ظا 45 = 1  س = 45 لكن ظا هـ موجبة في الربعين الأول و الثالث
 س= 45 + 180 = 225 ْ  م ح = { 45 ، 225}

(2) ჻ 2جا س = 1  جا س = 5و  س = 30 ْ لكن جا هـ موجبة في الربعين الأول و الثاني
 س = 180 - 30 = 150 ْ  م ح = { 30ْ ، 150ْ }

(3) ჻ جا س جتا س = 0 إما جا س = 0  س = 180 ، 0 أ، جتا س= 0  س= 90،270ْ
 م ح = { 0 ، 9 ، 180 ، 270 ْ }
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4) 2جتا س + 1 = صفر (5) جا ( 2س+ 10 ) = 1 (6) 2جا2 س + جا س - 1= 0
الحل:ـ (1) جتا س = -5و ، ჻ جتا60 = 5و ، ჻ جتا هـ سالبة في الربعين الثاني و الثالث
 س = 180- 60 = 120 أ، س = 180+ 60 = 240 ْ

(5) ჻ جا 90 = 1  2س+ 10 = 90  2س = 80  س = 20 ْ

(6) بالتحليل  ( 2جا س - 1)( جا س+ 1) = 0  جاس = 5و أ، جا س= -1
عندما : جا س= 5و  س= 30 أ، 150 ،، عندما : جا س = -1  س = 270 ْ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(7) حل المعادلة : جا 60 جا 300 - جتا 120 جا ( - 150 ) = جتا س
الحل:ـ × - - × = جتا س  جتا س = - = -1

჻ جتا س = -1  س = 180 ْ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 تمريـــــن : (1) أكمل ما يأتي 00
(أ) إذا كانت 2 جا س = 1 فإن جتا س = 00000000 أ، 00000000
(ب) إذا كانت ظا س = 1 فإن جا س = 0000000000 أ، 000000000
(جـ) إذا كانت قتاس = -2 فأن قا س = 0000000000 أ، 000000000
(2) أوجد مجموعة حل المعادلات الأتية 00
(أ) 2 جتـــــــا س = 1 (ب) ظا2 س - 1 = صفــــــــــــــــــــر
(جـ) 2 جا س - = صفر ( د ) ظا ( ) = 1

( هـ) جتا2 س - جتا س = صفر ( و) جتا ( 3س + 30 ) = - 1 @

 الدوال المثلثية للزوايا الحادة :ـ في أي  أ ب جـ قائم في ب

يكون جا جـ = = ،، جتا جـ = =


ـ ظا جـ = = ، بالمثل قتا جـ = وتر / مقابل ، قا جـ = وتر / مجاور، ظتا جـ = مجاور / مقابل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال1:  أ ب جـ فيه < ب قائمة ، أ ب = 3 سم ، أ جـ = 5 سم
ـ أوجد ظا أ ، جا ( 180 - أ ) ، جا ( 90 - جـ ) ، قتا (- جـ )
الحل:ـ
من فيثاغورس : ( ب جـ )2 = (أ جـ )2 - ( أ ب )2 = 25-9 = 16  أ جـ =4ســــم

 ظا أ = = 4 / 3 ** جا ( 180- أ ) = جا أ = = 4 / 5

، جا ( 90- جـ ) = جتا جـ = = 4 / 5 ** قتا ( - جـ ) = - قتا جـ = =- 3 / 5
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(2) إذا كانت 4ظا هـ = 3 حيث هـ زاوية حادة فأوجد قيمة كلاً من
أ ـ جتا2 هـ - جا2 هـ ** ب ـ جتا 120 جا ( 180- هـ ) + جا 510 جتا هـ
الحل:ـ
أ ـ المقدار= ( )2 - ( )2 = - =

ب ـ جتا 120 = جتا ( 180 - 60 ) = - جتا 60 =-

، جا ( 180- هـ ) = جا هـ = ،، جا 510 = جا 150 = جا 30 =

 المقدار = - × + × = + = 1 / 10 @
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) إذا كانت 4 ظا س = 3 حيث س  ] ط ، 3ط/2 [ ، 13جا ص -12= 0 حيث 90< ص < 180
فأوجد قيمة المقدار
الحل:ـ
لاحظ أن س تقع في الربع الثالث ،، ص تقع في الربع الثاني [ تذكر الإشارات]
 ظا (90- ص) = ظتا ص = ،، جا- س = - جا س = - =

، جتا2 45 = ( )2 =


 المقدار = = 1 / 10
(4) إذا كان 17 جا ب = 8 حيث 90ْ < ب < 180 ْ ، 4 ظا جـ = 3 حيث 180ْ< جـ < 270 ْ
فأوجد قيمة المقدار : ظتا ( 180- ب ) × قتا -330 + قا ( 180- جـ ) × جتا (- 480 ْ )
الحل:ـ جا ب = 8/ 17 حيث ب في الربع الثاني ،، ظا جـ = 3/4 ، جـ في الربع الثالث
 ظتا( 180- ب ) = - ظتا ب = - =

، قتا -330 = - قتا 330 = - قتا ( 360- 30 ) = - (- قتا 30 ) = 2

، قا ( 180- جـ ) = - قا جـ =

، جتا(- 480 ) = جتا 480 = جتا 120 = -

 المقدار = × 2 - × - = #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 تمريــــــــن :ـ
(1)  أ ب جـ قائم الزاوية في ب ، فيه أ ب = 6سم ، ب جـ = 8 سم
ـ أوجد ظا ( 180 + أ ) ،، جتا ( 90- جـ ) ،، قا ( - أ ) ،، جتا ( 180 + جـ )

(2) إذا كانت 3 ظا هـ = 4 حيث هـ  ] 0 ، 180 ْ [
ـ فأوجد قيمة المقدار 5 جتا هـ + ظا ( 180- هـ ) + جتا 120 - ظا315

(3) إذا كانت 25 جا ب + 24 = 0 حيث ب  ] 180 ْ ، 270 ْ [
، 5 ظا جـ - 12 = صفر حيث جـ أكبر زاوية موجبة
ـ فأوجد قيمة المقدار جا ( 180 + ب ) + جتا ( 180- جـ )

(4) إذا كانت جا س = حيث س أكبر زاوية موجبة

ـ فأوجد قيمة المقدار قتا(180- س ) طا س - جتا ( 180 + س )

(5) بإستخدام الألة الحاسبة أوجد قيمة المقدار جتا20 + ظا 42 - جا 200

(6) بإستخدام الألة أوجد قيمة المقدار حا 15 جا 15 - جتا 15 جتا 15

(7) حل المعادلة جا س = 2345و0
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مع أطيب و أرق الأمنيات للجميع بالتفوق***
* م.أ/ محمد راجح *